Содержание:

1.Введение………………………………………………………………………………2

2. Силовое воздействие………………………………………………………………..2

3. Тепловое воздействие……………………………………………………………….9

4. Кинематическое воздействие……………………………………………………..13

5. Список литературы……………………………………………………………….17

Внимание!

Это ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ работы №3431, цена оригинала 350 рублей. Оформлена в программе Microsoft Word.

Оплата. Контакты.

Введение

В методе сил основные неизвестные принимались усилия в лишних связях, для нахождения которых составлялись кинематические уравнения (уравнения неразрывности деформаций), а затем определялись внутренние усилия в сечениях и перемещениях в любой точке конструкции, т.е. при расчёте статически определимых систем методом сил сначала находили силы, а потом перемещения.

Метод, в котором за основные неизвестные принимаются угловые и линейные перемещения узлов системы и который позволяет их найти, носит название метода перемещений. Этот метод, как и метод сил, является основным для расчёта статически неопределимых систем.

Основные гипотезы метода перемещений:

1. Как и в методе сил, пренебрегаем, влияние продольных и поперечных сил и деформации стержней, т.е. учитываем только деформации изгиба.

2. Поскольку все перемещения принимаются малыми, то можно пренебречь сближением концов стержня при его изгибе.

1. Силовое воздействие

Общее число неизвестных метода перемещений называют степенью кинематической неопределимости системы и обозначают буквой n. Она определяется как сумма неизвестных углов поворота ny и неизвестных независимых линейных перемещений узлов nл:

Число независимых линейных смещений узлов ny равно числу жестких узлов. Под жестким узлом будем понимать узел, в котором жестко соединено не менее двух стержней.

Число независимых линейных смещений узлов nл тоже легко подсчитать эту величину, рассматривая шарнирную схему сооружения, которая получается из заданной системы путем введения шарниров во все жесткие узлы, включая и опорные. Если в заданной системе имеются статически определимые консоли, то они должны быть предварительно отброшены. Необходимо помнить, что, врезая шарнир в жесткую заделку, получаем шарнирно-неподвижную опору, а, врезая шарнир в скользящую заделку, — шарнирно-подвижную опору. По шарнирной схеме можно определить не только количество линейных смещений, но и их направления.

Пример:

Определим число неизвестных метода перемещений для системы.

Рис 1:

Так как рама имеет два жестких узла на рис 1а, ny=2. По шарнирной схеме рис.1б определяем nл. Значение nл для рам с прямыми стержнями равно степени свободы шарнирной схемы следует считать по формуле:

(1) , где

У — число шарнирных узлов рамы, включая опорные;

С — число стержней рамы;

С0 – число опорных связей.

Возможно только горизонтальное смещение ригеля.

Степень кинематической неопределимости составляет:

Порядок расчёта сооружения методом перемещений аналогичен порядку расчёта стержневых систем методом сил. Подсчитав степень кинематической неопределимости системы, вводят в расчёт вместо заданной системы основную, но получают её здесь не отбрасыванием лишних связей, а наложением дополнительных, устраняющих возможные перемещения узлов. Если во все жесткие узлы системы ввести заделки, препятствующие поворотам узлов, и закрепить узлы от поступательных смещений установкой дополнительных стержней (опорных стержней), то получим в качестве основной системы совокупность независимых однопролётных статически неопределимых балок двух видов: балка с двумя заделками по концам и балка, у которой на одном конце заделка, а на другом – шарнирно подвижная опора. Эти балки постоянного сечения заранее рассчитаны на все виды воздействия, а в дальнейшем весьма просто строятся единичные и грузовые эпюры моментов путем формального переноса соответствующих эпюр моментов из таблиц на деформированные стержни основной системы от различных воздействий.

Число вводимых связей равно степени кинематической неопределимости системы: число дополнительных заделок совпадает с количеством жестких узлов ny, а число дополнительных опорных стержней – со степенью линейной подвижности узлов nл.

Дополнительная заделка эквивалентна одной связи и отличается от обычной жесткой опорной заделки, которая эквивалентна трём связям, тем, что препятствует только угловым перемещениям узлов и не препятствует их поступательным перемещениям. В дополнительной заделке может возникать в качестве реакции только момент. Это так называемая моментная, или угловая связь. В дополнительном стержне возникает реакция, направленная по оси этого стержня, — это силовая или поступательная связь.

Поскольку узлы заданной системы под внешним воздействием могли иметь угловые и линейные перемещения, а в основной системе они невозможны, чтобы сделать основную систему эквивалентной заданной по перемещениям и усилиям, надо дополнительно к заданному внешнему воздействию приложить во введенные связи действительные и угловые и линейные перемещения, которые пока неизвестны.

Пример:

Для заданной рамы на рис.2а образовать основную систему метода перемещений. Определить степень кинематической неопределимости: .

Рис 2:

На жесткие узлы С и D накладываем защемления с одновременным приложением угловых неизвестных Z1 и Z2. Горизонтальный опорный стержень с линейным неизвестным Z3 можно поставить в узлах С и D или в любой точке ригеля CD. Главное его назначение – воспрепятствовать горизонтальному смещению узлов рамы (рис.2б). Направление неизвестных выбирается произвольным.

Пример Для неразрезной балки (рис.3 а) образовать основную систему метода перемещений.

рис.3

Основная система показана на рис.3,

Если заданная система n раз кинематически неопределима, то после наложения на неё n дополнительных связей, устраняющих возможные перемещения её узлов и приложения к ним неизвестных перемещений Z1, Z2 …Zn, система канонических уравнений метода перемещений для определения этих неизвестных может быть представлено в виде:

(2)

Все реакции обозначенные буквой r, называются единичными реакциями. Так, rik – реакция, возникающая в дополнительной связи i, где имеется перемещение Zi, от перемещения связи k на единицу (от Zk=1); rikZk – реакция, возникающая в дополнительной связи i от перемещения связи k на величину Zk; rii — реакция, возникающая в дополнительной связи i, где имеется перемещение Zi, от смещения этой же связи на единицу (Zi=1); riiZi – реакция в связи i от её смещения на величину Zi; RiP – реакция, возникающая в связи i от действия на основную систему нагрузки. Первый индекс у rik и показывает номер связи, в которой возникает реакция, а второй – указывает на причину появления реакции. Реакция, возникающая в связи i (rik, RiP), считается положительной, если её направление совпадает с направлением неизвестного перемещения Zi, показанного на основной системе. Ещё раз напомним, что реакции, возникающие в дополнительных заделках, называются реактивными моментами, а в дополнительных опорных стержнях, — просто реакциями, или реактивными усилиями. Поскольку уравнение (2) является условием эквивалентности по усилиям заданной и основной систем (условиями равновесия), физический смысл любого i-го уравнения заключается в том, что суммарная реакция в дополнительной связи i от действия всех неизвестных и нагрузки на основную систему равна нулю, потому что в заданной системе эта дополнительная связь отсутствует.

Для вычисления коэффициентов при неизвестных и свободных членов канонических уравнений метода перемещений надо сначала построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных неизвестных перемещений узлов рамы и Мр от внешней нагрузки, после построения, переходят к вычислению rik и свободных членов Rip, применяя статический или кинематический (перемножение эпюр) способы.

Статический способ из-за своей простоты и наглядности является основным способом определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов и основан на использовании уравнений равновесия. Особенно просто находятся реакции, представляющие собой реактивные моменты во введенных защемлениях, из условий равновесия вырезанных из основной системы узлов в виде

Несколько сложнее вычисляются реакции, представляющие собой реактивные усилия во введенных опорных стержнях. Для их определения составляются уравнения равновесия некоторой отсеченной части основной системы, содержащий эти силовые связи в виде: , .

Кинематический способ дает возможность находить реактивные моменты и усилия в дополнительных связях аналогично тому, как в методе сил, т.е. путем интегрирования (перемножения) соответствующих эпюр по формулам, вытекающим из теоремы о взаимности работ:

(3); , (4) где,

, — единичные эпюры моментов, построенные в основной системе метода перемещений; — эпюра моментов от нагрузки, построенная в любой статически определимой системе, полученной из заданной.

Подставив найденные коэффициенты rik и свободные члены RiP в систему (2) и решив её, найдем действительные значения неизвестных метода перемещений Z1, Z2,…Zn. После этого окончательную эпюру моментов строим, как и в методе сил, по формуле:

(5)

т.е. как алгебраическую сумму эпюры от заданной нагрузки в основной системе Mp и единичных эпюр , ,… , умноженные на найденные значения неизвестных.

— исправленная единичная эпюра моментов.

Следует отметить, что как исходные , так и исправленные эпюры моментов метода перемещений являются неуравновешенными, в то время как окончательная эпюра изгибающих моментов должна быть обязательна уравновешена. Поэтому необходимым и достаточным условием правильности эпюры М является равенство нулю реакций во всех введенных связях при правильных единичных и грузовой эпюрах. Это означает, что все узлы системы должны быть уравновешены, и должны отсутствовать реактивные усилия в дополнительных опорных стержнях.

Наряду со статическим может быть применена и кинематическая проверка, как это делалось в методе сил. Для этого надо окончательную эпюру моментов умножить на единичные эпюры или на их суммарную, построенные в любой основной системе метода сил, образованной из заданной.

После частичной или полной проверки эпюры М по обычным правилам строят эпюры поперечных Q и продольных сил N.

Окончательной проверкой правильности всего расчёта является одновременное выполнение всех трёх уравнений статики ( , ) как для заданной системы в целом, так и для любых отдельных её частей. Последовательность расчёта статически неопределимых систем методом перемещений остается такой же, как и методом сил.

Пример:

Для рамы на рис. 4а. построить эпюру М. Так как жесткости стержней не заданы считаем их одинаковыми и равными EJ.

1. Определить степень кинематической неопределимости. Рама имеет один жесткий узел, следовательно, ny=1. По шарнирной схеме рис. 3б найдем число независимых линейных смещений узлов:

Общее число неизвестных составит:

т.е. рама один раз кинематически неопределима.

Рис 4.

2. Образуем основную систему, введя заделку в узел 2, препятствующую возможному угловому смещению, которое обозначим через Z1 (рис.3в).

3. Каноническое уравнение метода перемещений запишется в виде:

, .

4. При повороте узла 2 на единицу изгибаются оси двух стержней основной системы, сходящиеся в этом узле. Отвечающая этому воздействию деформация основной системы показана пунктиром на рис.4г. На деформированные стержни 1-2 и 2-3 переносим эпюры моментов из уже готовых эпюр, откладывая ординаты со стороны растянутых волокон. Единичная эпюра показана на рис. 4г. Грузовая эпюра моментов Мр от действия внешнего сосредоточенного момента m=14 кН*м на защемлённый узел 2 равна нулю рис. 4д.

5. Для определения коэффициента и свободного члена — реактивных моментов в наложенной заделке – применим статический способ. Для этого вырежем узел 2 и рассмотрим его равновесие в двух случаях.

Рис 5

На рис.5 а, б показан узел 2 с действующими на него моментами со стороны отброшенных частей рамы и реактивными моментами в защемлении. Реактивный момент, считается положительным, если его направление совпадает с принятым направлением Z1 перемещения связи, в которой он возникает. Записав уравнения равновесия этого узла, получим:

Рис.5а :

Рис. 5б :

Знак минус у означает, что реактивный момент и заданное перемещение угла поворота Z1 противоположно направлены.

6. Найдём неизвестное: Z1:Z1 = -(-14)/1,75EJ=8/EJ.

7. Окончательная эпюра изгибающих моментов, построенная по формуле , представлена на рис. 2е.

8. Необходимой и достаточной проверкой правильности построенной эпюры М в данной задаче является равновесие узла 2, которое показано на рис.4в.

Тепловое воздействие

Канонические уравнения метода перемещений для n раз кинематически неопределимых систем при расчёте на тепловое воздействие отличаются от системы уравнений (2) только свободными членами и записывается в виде:

(6)

Физический смысл любого i – го уравнения системы (6) заключается в отсутствии (равенстве нулю) суммарной реакции в дополнительной связи i от действия на основную систему неизвестных и тепловой нагрузки, так как в заданной системе этой дополнительной связи нет. Основная система метода перемещений здесь, естественно, остаётся той же, что при расчёте на силовое воздействие. Как и ранее, будем предполагать, что температура постоянна по длине стержня, а по толщине нагреваемого элемента – изменяется по линейному закону. В этом случае температура по оси стержня (равномерный нагрев) определяется как:

, (7)

Разность (перепад) температур t’ (неравномерный нагрев) – как:

(8)

Чтобы вычислить свободные члены , необходимо построить в статически неопределимой основной системе метода перемещений грузовую эпюру моментов от теплового воздействия. Эта эпюра будет состоять из двух эпюр моментов: эпюры от неравномерного нагрева стержней и эпюры от равномерного нагрева стержней, т.е.

(9)

Эпюра весьма просто строится в основной системе при помощи уже готовых эпюр из таблиц. Построение эпюры несколько сложнее. Для этого надо знать взаимные перемещения концов каждого стержня по перпендикулярному к его оси направлению. В результате равномерного нагрева стержни основной системы удлинятся или укоротятся, а её узлы, не поворачиваясь, получат поступательные перемещения и займут новое положение, вследствие чего стержни системы искривятся и в них возникнут изгибающие моменты. Удлинение или укорочение i-го стержня основной системы определяется по формуле:

, (10) где

— коэффициент линейного расширения материала;

– длина нагреваемого участка.

Из приведённых выше рассуждений следует, что для построения эпюры нужно сначала на отдельном рисунке показать новое положение узлов основной системы с величинами их смещений и изобразить деформации искривлённых стержней. После этого в новой схеме основной системе переносим на деформированные стержни эпюры моментов (из таблиц), ординаты которых надо умножить на соответствующие значения — взаимное перемещение концов каждого стержня в основной системе по направлению, перпендикулярному к оси стержня. Полученная таким образом эпюра моментов и есть эпюра . Окончательная грузовая эпюра в основной системе строится по формуле (9).

Свободные члены можно вычислить не только по единой эпюре , но и отдельно с помощью эпюр и по следующей формуле:

(11), где

— реакция во введенной связи i от неравномерного нагрева;

— реакция в той же связи от равномерного нагрева.

После вычисления всех коэффициентов, решения системы канонических уравнений и нахождения, неизвестных Z1, Z2, … , Zn окончательная эпюра изгибающих моментов для заданной системы строится по формуле.

(12)

Наряду с обычными проверками окончательной эпюры моментов, полученной в результате расчёта заданной системы методом перемещений на тепловое воздействие (равенство нулю реакций во введенных связях), возможна проверка перемножением окончательной эпюры М с любой единичной или суммарной единичной эпюрой построенными в основной системе метода перемещений:

; (13)

Равенство (13) следуют из теоремы Бетти о взаимности работ. Последовательность расчёта сохраняется при тепловом воздействии, как и при силовом воздействии.

Пример:

Рассчитать неразрезную балку на рис.6а и построить эпюры М, Q.

Рис. 6

Будем считать жесткость пролётов балки одинаковой и равной EJ.

1. Поскольку балка не имеет линейных смещений узлов, степень её кинематической неопределимости будет равна количеству жестких узлов, т.е. двум.

2. Симметричная основная система метода перемещений с группировкой неизвестных представлена на рис.6б. Групповое неизвестное Z1 является симметричным неизвестным, а групповое неизвестное Z2 – обратносимметирчны. Так как на заданную и основную симметричные системы действует симметричное тепловое воздействие, обратно симметричное неизвестное Z2 будет равно нулю. (Z2=0)

3. Вследствие того, что Z2=0, система двух канонических уравнений вырождается в одно алгебраическое уравнение:

.

4. Симметричные эпюры моментов и , построенные по обычным правилам с применением

таблицы Эпюры моментов здесь равна нулю, потому что в неразрезной балке от равномерного нагрева отсутствуют взаимные смещения концов каждого стержня по перпендикулярному к его оси направлению.

Рис 7.

5. По эпюрам и вычисляем коэффициенты, входящие в каноническое уравнение метода перемещений. Реактивный момент равен сумме моментов в узлах 2 и 3 эпюры , в которых находится первая связь, т.е. =(0,5EJ+0,5EJ)2=2EJ. Реактивный момент вычисляется аналогично по эпюре , т.е. =(150£EJ-60£EJ)2=180£EJ.

6. Подставив коэффициенты , в каноническое уравнение и решив его, найдём Z1:

Рис 8.

7. Окончательную эпюру М рис.8а построим как алгебраическую сумму исправленной эпюры Z1 рис.8а и эпюру рис.5б.

8. как видно из рис.8б моменты в узлах 2 и 3 уравновешены.

Проверим дополнительно выполнение равенства (13):

9. На рис. 8в изображена эпюра поперечных сил Q, построенная по проверенной эпюре М.

Кинематическое воздействие

Основная система метода перемещений при расчёте рам и балок на кинематическое воздействие (чаще всего на осадку опор) остается такой же, как и при расчете на силовое и тепловое воздействия. Каноническое уравнение для n раз кинематически неопределимых систем отличаются от систем уравнений (2), (6) только свободными членами:

(14)

Физический смысл любого i – уравнения системы (14) аналогичен тому, как он формулировался при других воздействиях свободные члены канонических уравнений — реакции во введенных дополнительных связях от кинематического воздействия. Для их вычисления нужно построить в основной системе грузовую эпюру Мс от заданного смещения опор.

Прежде чем строить эпюру Мс, надо в основной системе показать новое положение узлов, вызванное смещением опор, изобразить деформации стержней и определить относительные поступательные перемещения их концов по перпендикулярному к ним направлению.

Эта процедура аналогична той, которая применялась при построении эпюры от равномерного нагрева. После этого эпюра Мс весьма просто строится путём перенесения на деформированные стержни основной системы соответствующих эпюр моментов (в таблице), ординаты которых нужно умножить на найденные значения взаимных смещений концов стержней.

Определив все коэффициенты, входящие в систему канонических уравнений и решив её, окончательную эпюру изгибающих моментов в заданной системе от смещения опор можно построить по формуле: (15)

Помимо обычной проверки правильности окончательной эпюры М (равенстве нулю реакций во введенных связях) можно использовать формулу:

;

Если решение задач ведется с точностью до масштабного множителя EJ, то числа получаются малыми, поэтому, чтобы избежать больших расхождений и окончательных значениях моментов в узлах, необходимо учитывать при расчёте большое число знаков после запятой (как минимум 5 знаков).

Последовательность расчёта систем на заданное смещение опор остаётся прежней.

Пример:

Для неразрезной симметричной балки построить эпюру М от указанного на рис 9а, симметричного смещения опор.

Поскольку жесткость стержней не задана, примем EJ-const.

Рис 9.

1. Неразрезная балка имеет три жестких узла. Следовательно, степень её кинематической неопределимости равна трем.

2. Основная система с группированными неизвестными показана на рис.9б. Групповое парное неизвестное Z1 является симметричным неизвестным, а групповое парное неизвестное Z2 – обратносимметричным. Также обратносимметричным является неизвестное Z3. Так как на симметричную заданную систему действует симметричная кинематическая нагрузка, Z2-Z3=0.

3. Неизвестное Z1 определим из канонического уравнения:

Рис 10.

.

4. Симметричная групповая единичная эпюра от действия Z1=1 представлена на рис.10а. Для построения грузовой эпюры Мс от смещения опор сначала определим величины взаимных смещений концов стержней по перпендикулярному к ним направлению и изобразим характер деформирования стержней. рис.10б.

;

Используя пункт 13 табл.6.1, строим эпюру Мс (рис. 10в). Табличные ординаты моментов для стержней 1-2 и 4-5 умножим на величину , а для стержней 2-3 и 3-4 – на величину (см. рис.10б,в.).

5. Из рисунка 10 а,б, следует:

;

6. Из решения канонического уравнения найдём Z1:

Рис 11.

7. Умножив единичную эпюру на найденное значение неизвестного Z1 (рис.11а) и сложив её с эпюрой Мс, получим окончательную эпюру изгибающих моментов (рис11б).

8. Как видно из рисунка 7б, все узлы неразрезной балки по моментам находятся в равновесии.

9. На рисунке 7в, приведены эпюра поперечных сил Q, построенная по полученной выше эпюре М, а также направлении и величины опорных реакций балки. Все ординаты эпюр М и Q и значения опорных реакций надо умножить на множитель 10-3 EJ.

Проверим условие равновесия реакций на ось Y:

; .

Список литературы:

1.Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически неопределимые системы.

2. А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.